stepankapusta (stepankapusta) wrote,
stepankapusta
stepankapusta

Categories:

Нестрашная общая теория относительности

Оригинал взят у al_pas в Нестрашная общая теория относительности

Благодаря многим авторам-популяризаторам, считающим, что книжка обречена на провал, если в ней будет хотя бы одна формула, у многих сложилось мнение, что теория относительности, а особенно общая теория относительности — это что-то запредельно сложное, доступное только избранным. Недавно в ЖЖ у Сергея Щеглова зашёл разговор о скорости течения времени на искусственных спутниках Земли, который складывается из двух конкурирующих эффектов — эффекта специальной теории относительности: часы отстают, поскольку движутся относительно наземного наблюдателя, и эффекта общей теории относительности: часы спешат, поскольку находятся в области более слабого гравитационного поля.
На самом деле в общей теории относительности это один и тот же эффект — эффект искривлённого пространства времени, описываемого, например, метрикой Шварцшильда:

0
Оно совсем не страшное. Первое слагаемое описывает вклад в интервал гравитационного поля, второе — суммарный вклад движения вдоль радиуса и изменения гравитационного поля, а третье — вклад движения «поперёк» гравитационного поля, то, что обычно называют эффектом специальной теории относительности.
Давайте теперь подсчитаем длину геодезической для спутника и для неподвижного наблюдателя. Поскольку интервал является инвариантом преобразования системы отсчёта, то нам всё равно, в какой системе считать. Проще это сделать в системе отсчёта бесконечно удалённого неподвижного наблюдателя. Землю пока для простоты будем считать идеальным однородным невращающимся шаром, лишённым гор и атмосферы. (Есть ещё один «тонкий» момент: r в выражении для интервала в метрике Шварцшильда — это не совсем радиус-вектор, но гравитационное поле у нас слабое, и мы эту тонкость пока оставим за скобками.)
Подсчитаем интервалы за один оборот спутника. Пусть у нас с=299792458 м/с — скорость света, G = 6.67∙10-11 м3с-2кг-1— гравитационная постоянная, M = 5,97∙1024 кг — масса Земли, r = 6,380∙106 м — радиус Земли, и h — высота полёта спутника над уровнем моря. Численные значения подставим позже.
Для начала упростим уравнение, выкинув лишние члены. Пусть спутник у нас движется по круговой орбите, тогда его расстояние до центра Земли не меняется, и второй член будет равен нулю. Пусть также спутник движется в экваториальной плоскости — тогда из третьего члена у нас уйдёт зависимость от широты, и уравнение примет следующий вид:
0a
В системе неподвижного наблюдателя дифференциал интервала (поскольку угол не меняется, и его дифференциал равен нулю) будет равен:
1
Время течёт равномерно, следовательно интервал будет просто:
2.
Подставив сюда выражения для периода спутника на круговой орбите 3, получим окончательную формулу:
4
Теперь подсчитаем интервал для спутника. Для него:
5.
Подставляя в эту формулу явное выражение для зависимости φ от времени — 6 и скорость спутника на круговой орбите — 7, получаем:
8
Переменные разделены, время течёт равномерно, поэтому:
9
После подстановки выражения для периода спутника на круговой орбите — 3 — получим:
Спутник:
10

Запишем рядом, чтобы было удобно сравнивать, выражение для интервала неподвижного наблюдателя:
4
Подставив все вышеперечисленные численные значения, получим, что за один оборот спутника вокруг Земли при высоте орбиты h = 0 интервалы составят:
У спутника: s = 1.521183150926∙1012 м,
У земного наблюдателя: s = 1.521183151455∙1012 м.
Разность интервалов: -529 м, что означает, что часы на спутнике за один виток отстанут на 1,76 мкс, а за сутки — на 30 мкс.
Очевидно, что чем выше находится орбита спутника, тем медленнее он движется, что уменьшает отставание его часов, а уменьшение гравитационного потенциала приводит к тому, что часы на спутнике начинают спешить. На какой-то высоте эти два эффекта сравняются, и часы на спутнике будут идти с той же скоростью, что и на Земле. На более высоких орбитах часы на спутнике будут уже спешить по сравнению с земными. Чтобы найти высоту орбиты, на которой часы на спутнике и на Земле идут одинаково, приравняем оба интервала и решим уравнение:
11
Оно имеет два корня: h = -R и h = R/2. Первый соответствует центру Земли, а второй — орбите высотой 3190 км. Ниже этой орбиты часы на спутнике будут отставать, выше — спешить.
Например, часы на спутниках GPS, высота орбит которых составляет около 20200 км, спешат относительно земных часов на 38,4 мкс за сутки.


Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 1 comment